NANO-ck
Mise-à-jour le 25 March 2024, 3 minutes de lecture
Une équation différentielle est une équation qui contient une ou plusieurs dérivées d’une fonction inconnue. On distingue deux types d’équations différentielles :
Équation | Méthode de résolution |
---|---|
$\frac{dy}{dx} = f(x)g(y)$ | $\int \frac{dy}{g(y)} = \int f(x)dx$ |
$\frac{dy}{dx} = f(x) + g(y)$ | $\int \frac{dy}{g(y) - f(x)} = \int dx$ |
On résout l’équation homogène associée, puis on cherche une solution particulière de l’équation complète.
On applique la transformée de Laplace à l’équation différentielle.
Soit l’équation différentielle suivante :
\[\frac{dy}{dx} + y = 0\]On cherche une solution de la forme $y = e^{\lambda x}$.
On a donc :
\[\lambda e^{\lambda x} + e^{\lambda x} = 0\] \[\lambda + 1 = 0\] \[\lambda = -1\]La solution générale de l’équation différentielle est donc :
\[y = C e^{-x}\]avec $C$ une constante réelle.
Soit l’équation différentielle suivante :
\[y'' + y = 0\]On cherche une solution de la forme $y = e^{\lambda x}$.
On a donc :
\[\lambda^2 e^{\lambda x} + e^{\lambda x} = 0\] \[\lambda^2 + 1 = 0\] \[\lambda^2 = -1\] \[\lambda = \pm i\]La solution générale de l’équation différentielle est donc :
\[y = C_1 \cos(x) + C_2 \sin(x)\]avec $C_1$ et $C_2$ des constantes réelles.
Soit l’équation différentielle suivante :
\[y'' + y = \sin(x)\]On cherche une solution de la forme $y = C_1 \cos(x) + C_2 \sin(x)$.
On a donc :
\[-C_1 \cos(x) - C_2 \sin(x) + C_1 \cos(x) + C_2 \sin(x) = \sin(x)\] \[C_2 = 1\]La solution générale de l’équation différentielle est donc :
\[y = C_1 \cos(x) + \sin(x)\]avec $C_1$ une constante réelle.
Soit l’équation différentielle suivante :
\[y'' + y = e^x\]On cherche une solution de la forme $y = C_1 \cos(x) + C_2 \sin(x) + C_3 e^x$.
On a donc :
\[-C_1 \cos(x) - C_2 \sin(x) + C_1 \cos(x) + C_2 \sin(x) + C_3 e^x = e^x\] \[C_3 = 1\]La solution générale de l’équation différentielle est donc :
\[y = C_1 \cos(x) + C_2 \sin(x) + e^x\]avec $C_1$ et $C_2$ des constantes réelles.
Soit l’équation différentielle suivante :
\[y'' + y = e^x\]avec les conditions initiales $y(0) = 1$ et $y’(0) = 0$.
On cherche une solution de la forme $y = C_1 \cos(x) + C_2 \sin(x) + e^x$.
On a donc :
\[C_1 + C_3 = 1\] \[-C_2 + C_1 + C_3 = 0\] \[C_1 = 1\] \[-C_2 + 1 + 1 = 0\] \[C_2 = -2\]La solution particulière de l’équation différentielle est donc :
\[y = \cos(x) - 2 \sin(x) + e^x\]Ce site est à la disposition de tous, pour consulter et participer à la prise de notes.
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