Primitives
NANO-ck
Mise-à-jour le 25 March 2024, 2 minutes de lecture
Primitives
Définition
Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$.
On appelle primitive de $f$ sur $I$ toute fonction $F$ dérivable sur $I$ telle que $F’ = f$ sur $I$.
Théorème
Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$.
Si $F$ est une primitive de $f$ sur $I$, alors les fonctions $F + C$ où $C$ est une constante réelle, sont aussi des primitives de $f$ sur $I$.
Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$.
Si $F$ et $G$ sont deux primitives de $f$ sur $I$, alors il existe une constante réelle $C$ telle que $F = G + C$ sur $I$.
Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$.
Si $F$ est une primitive de $f$ sur $I$, alors la fonction $F$ est continue sur $I$.
Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$.
Si $F$ est une primitive de $f$ sur $I$, alors la fonction $F$ est dérivable sur $I$ et $F’ = f$ sur $I$.
Primitives des fonctions usuelles
| $f$ | $F$ | Intervalle |
|---|---|---|
| $f(x) = a$ | $F(x) = ax + C$ | $\mathbb{R}$ |
| $f(x) = x^n$ | $F(x) = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ | $\mathbb{R}$ |
| $f(x) = \frac{1}{x^n}$ | $F(x) = -\frac{1}{(n-1)x^{n-1}} + C$ | $\ ]-\infty, 0[\ \cup\ ]0, +\infty[$ |
| $f(x) = \frac{1}{\sqrt{x}}$ | $F(x) = 2\sqrt{x} + C$ | $\ ]0, +\infty[$ |
| $f(x) = e^x$ | $F(x) = e^x + C$ | $\mathbb{R}$ |
Règles de calcul sur les primitives
Soient $u$ et $v$ deux fonctions admettant respectivement $U$ et $V$ comme primitives sur un même intervalle $I$.
| $f$ | $F$ |
|---|---|
| $f(x) = u + v$ | $F(x) = U + V$ |
| $f(x) = k \times u$ | $F(x) = k \times U$ |
| $f(x) = u’ \times u^n$ | $F(x) = \frac{u^{n+1}}{n+1}$ |
| $f(x) = \frac{u’}{\sqrt{u}}$ | $F(x) = 2\sqrt{u}$ |
| $f(x) = u’ \times e^u$ | $F(x) = e^u$ |
Exemple de rédaction
$f$ est continue sur $\mathbb{R}$ car dérivable.
$f(x) = \frac{x}{\sqrt{3x^2 + 1}}$ est continue sur $\mathbb{R}$ car dérivable.
$f(x) = \frac{x}{\sqrt{3x^2 + 1}} = \frac{1}{6} \times \frac{6x}{\sqrt{3x^2 + 1}} = \frac{1}{6} \times \frac{u’}{\sqrt{u}}$ avec $u = 3x^2 + 1$ et $u’ = 6x$
Donc $F(x) = \frac{1}{6} \times 2 \sqrt{u} + C = \frac{\sqrt{3x^2 + 1}}{3} + C$
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